Hab Güte Gott (Gütekriterien)

Ich hasse alles hieran

Recap: Ein Schätzer, Zwei Schätzer:

• $x = (x_1, ..., x_n) \mapsto \hat{\vartheta}_n(x)$ ordnet jeder Stichprobe aus dem Stichprobenraum $X$ einen Schätzwert zu.
• $X = (X_1, ..., X_n) \mapsto \hat{\vartheta}_n(X)$ ordnet jedem Zufallsvektor eine Zufallsgröße (einen Parameter für die Zufallsverteilung) zu.

Keep in Mind: $\vartheta$ sind die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Also z.B. $p$ bei der Binomialverteilung.

$E_{\vartheta}(\hat{\vartheta}_n(X)) = \vartheta$ heißt einfach nur Erwartungswert mit dem Parameter $\vartheta$, da er natürlich davon abhängig ist.

Gütekriterien

Erwartungstreue ist eine Eigenschaft eines Schätzers $\hat{\vartheta}'$, die besagt, dass der Erwartungswert des Schätzers gleich dem wahren Wert des Parameters ist. $E(\hat{\vartheta}') = \vartheta$

Der Bias ist die Abweichung des Erwartungswertes des Schätzers vom wahren Wert des Parameters. $Bias(\hat{\vartheta}') = E(\hat{\vartheta}') - \vartheta$

Konsistenz fragt, ob bei größeren Stichproben der Schätzer näher an den wahren Wert des Parameters kommt (stoch. Konvergenz). Also: $\delta > 0$

$P(|\hat{\vartheta}' - \vartheta| > \delta) \rightarrow 0$ für $n \rightarrow \infty$

Es gibt auch starke und schwache Konsistenz.

Effizienz ist die Varianz des Schätzers. Je kleiner die Varianz, desto effizienter ist der Schätzer. Ein Schätzer ist effizient, wenn er effizienter als alle anderen ist.

MSE (Mean Sqaured Error): $MSE(\hat{\vartheta}'; \vartheta) = E_{\vartheta}((\hat{\vartheta}' - \vartheta)^2) = Var_\vartheta(\hat{\vartheta}_n') + [Bias(\hat{\vartheta}_n'; \vartheta)]$

Effizienz geht auch über den MSE. Ein Schätzer ist effizient, wenn er einen kleineren MSE als alle anderen hat.

Beispiel: Siehe Tutorium 9 Aufgabe 36 & 37.

Hauptproblem: Verwirrung. Einfach normal rechnen so wie immer. Erst Erwartungswert. $E_{\vartheta}(\hat{\vartheta}_n(X))$ also Formel nehmen dann Erwartungswert reinziehen (siehe lsg A37) und dann weiterrechnen. Wenn am ende wieder $\vartheta$ rauskommt, dann ist der Schätzer erwartungstreu. Varianz läuft analog. Dann nur noch Bias und dann hat man den MSE bereits. :)